Platonik Riemann yüzeyleri üzerinde sabit eğriler

Abstract

Yedi bölümden oluşan bu çalışmanın amacı platonik Riemann yüzeyleri üzerindeki sabit eğrileri ve bu eğrilerin bazı özelliklerini incelemektir. Birinci bölümde giriş kısmı verildi. İkinci bölümde tezin ana konusu için gerekli olan temel bilgilere yer verildi. Üçüncü bölümde kısaca hiperbolik geometri tanıtıldı. Dördüncü bölüm, Fuchs ve NEC (Non-Euclidean crystallographic) grupları ile Riemann yüzeylerine ayrıldı. Beşinci bölümde düzgün figürler tanıtılıp bunların sınıflandırılması yapıldı. Altıncı bölümde tezin ana konusu olan platonik Riemann yüzeyleri üzerindeki sabit eğrilerin desenleri tanıtıldı ve sınıflandırıldı. Ayrıca her sabit eğriye karşılık, birbirinin tersi olan, eğriyi ters yönlerde döndüren ve dönel otomorfizmalar olarak adlandırılan iki otomorfizma olduğu gösterildi. Son olarak bu otomorfizmalar yardımıyla cinsi 2 ve 3 olan platonik Riemann yüzeyleri üzerindeki sabit eğrilerin uzunlukları hesaplandı. Yedinci bölümde elde edilen sonuçlar verildi.

The main topic of this study, which consists of seven chapters, is to investigate fixed curves on platonic Riemann surfaces and some properties of these curves. The first chapter is devoted to the introduction. In the second chapter, basic concepts, which are necessary for the main topic of the thesis, were given. In the third chapter, hyperbolic geometry has been shortly introduced. The fourth chapter is devoted to Fuchsian groups, NEC (Non-Euclidean crystallographic) groups and Riemann surfaces. In the fifth chapter, regular maps were introduced and classified. In the sixth chapter, the patterns of fixed curves on platonic Riemann surfaces, which are the main topic of the thesis, were introduced and classified. Furthermore, it has been shown that for each curve there exist two automorphisms so called rotary automorphisms. These are inverses of each other and they rotate the curve in opposite directions. Finally, with the aid of these automorphisms the lengths of fixed curves on platonic Riemann surfaces of genera two and three have been calculated. The seventh chapter involves the conclusion of study.