Çeşitli kuantum sistemleri için Gel'fand üçlü uzay yapısının kurulması

Abstract

Kuantum mekaniğinin matematiksel yapısı matrisler ve diferansiyel işlemcilere dayanmaktadır. Bu işlemcilerin etki ettikleri vektör uzayı genellikle Hilbert uzayı olarak seçilmektedir. Ancak Hilbert uzayı, kuantum fiziğinin yaygın olarak kullanılan formülasyonu olan Dirac formülasyonu ve Dirac delta-fonksiyonunun tanımlanması için gerekli matematiksel alt yapıyı sağlayamamaktadır. Dirac formülasyonunun ve delta-fonksiyonunun matematiksel yapısını oluşturmak amacıyla, I. M Gelfand ve N. Ya. Vilenkin 1964 yılında, L. Schwartz tarafından geliştirilen dağılımlar teorisini geliştirerek Gel'fand üçlü uzay yapısını oluşturmuşlardır. Bu tezde, H. S. Green tarafından kuantum mekaniksel işlemcilerin spektrum ve özvektörlerinin bulunmasında kullanılan faktorizasyon yöntemi kullanılarak, çeşitli kuantum mekaniksel sistemlerin Gel'fand üçlü yapılarının elde edilebileceği gösterilmiştir. Örnek olarak, harmonik salınıcı ve sonsuz kuyu sistemlerinin Gel'fand üçlü uzay yapısı elde edilmiştir. Ayrıca, sonuç kısmında sonsuz kuyu potansiyelinde vektör uzayı olarak Hilbert uzayı seçildiğinde enerjinin karesi ve belirsizlik hesaplarında ortaya çıkan tutarsızlığın, Gel'fand üçlü yapısı seçildiğinde ortadan kaldırılabileceği gösterilmiştir. The mathematical structure of quantum mechanics depends on matrices and differential operators. The space which these operators act on is chosen as Hilbert space usually. However, the Hilbert space cannot provide the necessary mathematical structure which is needed to define the Dirac formulation and Dirac's delta-function used in quantum mechanics generally. In 1964 I. M Gelfand and N. Ya. Vilenkin invented the Gel'fand triplets by developing the distribution theory developed by L. Schwartz in order to create the mathematical structure of Dirac formulation and Dirac's delta-function. In this thesis, it has been represented that Gel'fand triplets of various quantum mechanical systems can be achieved by using the factorization method which is used by H. S. Green to determine the spectrum and eigenvectors of quantum mechanical operators. For example, the Gel'fand triplets of harmonic oscillator and infinite potential well has been achieved. Besides that, the fact that the inconsistency that arises during the calculation of energy squared and uncertainty when the Hilbert space is chosen as vector space can be removed if Gel'fand triplets are chosen.