For a n-dimensional polyhedral simplex D embedded in Rn Cr(D) contains Cr piecewise
polynomial functions. The space Cr
k(D) consisting of all Cr piecewise polynomial
functions of degree at most k is a finite dimensional vector space over R. In this thesis
we computed dimensions of Cr
k(D) in the case of n = 1 and 2. For n = 2 we used two
different methods. First method is that for a polyhedral complex D we have worked on
various examples by using CoCoA 4.7 in order to calculate dimensions of Cr
k(D) when
Cr(D) was free. For the second method, we again computed dimensions of Cr
k(D) for
sufficiently large k by using homolojical calculations on a simplicial complex D. We see
that on the examples these two methods coincide.
In Chapter 2, we give notations, definitions and results for module.
In the first part of Chapter 3, we introduce piecewise polynomial functions in one variable.
We give necessary and sufficient condition for the functions to be Cr-smooth. Using
these fact the dimension formula is given. In the second part, we first studied piecewise
polynomial function in two variables on a poyhedral complex D, especially on various
examples by using CoCoA 4.7. Secondly, we have studied the relation between ideals
of fat points and piecewise polynomial functions on a simplicial complex D. By using
this relation together with homolojical computations a formula for dimension of Cr
k(D) in
sufficiently large degree k is derived.
R^n içindeki n-boyutlu D polihedral kompleks olmak üzere C^r(D) kümesi, D üzerinde tanımlı, C^r türevlenebilir parçalı polinom fonksiyonlardan oluşsun. Derecesi k dan küçük ve eşit olan bütün C^r parçalı polinom fonksiyonları içeren C^r_k(D) kümesi R üzerinde sonlu boyutlu bir vektör uzayıdır. Bu tezde n=1 ve 2 durumları için C^r_k(D) vektör uzayının boyut hesaplamaları çalışıldı. n=2 için iki farklı yöntem kullanıldı. İlk yöntemde D polihedral kompleks olmak üzere C^r(D) nın free olma koşulu altında, değişik örnekler üzerinde C^r_k(D) vektör uzayının boyutu CoCoA 4.7 yazılım programı yardımı ile hesaplandı. İkinci yöntemde D simpleksel kompleks olmak üzere yeterince büyük k lar için homoloji hesaplamaları kullanılarak C^r_k(D) için genel boyut formülü verildi. Bu iki yöntemle yapılan hesaplamaların örnek üzerinde örtüştüğü de görüldü. Bölüm 2 de temel notasyonlar, tanımlar ve modüller için gerekli olan sonuçlar verildi. Bölüm 3 ün ilk kısmında tek değişkenli parçalı polinom fonksiyonlara bir giriş yapıldı. Verilen fonksiyonun C^r türevlenebilir olabilmesi için gerek ve yeter koşulu çalışıldı. Bu koşul altında tek değişkenli parçalı polinom fonksiyonların oluşturduğu uzayın boyutu hesaplandı. İkinci kısımda, ilk olarak polihedral kopmleksler üzerinde tanımlı iki değişkenli parçalı polinom fonksiyonları incelendi. CoCoA 4.7 yazılım programı yardımıyla değişik örnekler üzerinde boyut hesaplamaları yapıldı. İkinci olarak da D simpleksel kompleks olmak üzere şişman noktalar idealleri ile spline fonksiyonlar arasındaki ilişki çalışıldı. Daha sonra da bu ilişkiyle beraber homoloji hesapları yapılarak yeterince büyük k lar için C_k^r(D) vektör uzayının genel boyut formülü verildi.
