Toplanabilme metodları ve Tauber teoremleri

Abstract

Toplanabilme metodlan, ıraksak bazı sonsuz serileri toplamak ya da yakınsak serilerin yakınsama hızını artırmak için tanımlanmışlardır. Toplanabilme metodlarına örnek olarak, Cesaro ve Abel toplanabilme metodlan verilebilir. Abel toplanabilmeden serinin yakınsaklığını elde etmek için gerekli koşul ilk.olarak Tauber (1897) tarafindan verilmiştir. Bu tip koşullar Tauber koşulları olarak bilinirler. Bu tip koşullan ihtiva eden teoremler de Tauber teoremleri adını alırlar. Tauber (1897), nan = o(l),«- »oo koşulunun Abel toplanabilme metodu için bir Tauber koşulu olduğunu göstermiş, Littlewood (1911) ise, Tauber' in nan = o(l), n -> oo koşulunu nan = 0(l), n ->? oo olarak değiştirmiştir. Schmidt(1925), yavaş değişimliliğin de bir Tauber koşulu olduğunu göstermiştir. Szâsz( 1 935), V" i\a\, p) = 0(l), n -> oo, p > 1 koşulunun Abel toplanabilme metodu için Tauber koşulu olduğunu göstermiştir. Renyi P"(|a|,l)=0(l),rc- »co koşulunun Abel toplanabilme için bir Tauber koşulu olmadığını gösteren bir örnek vermiştir. Landau(1929), tek taraflı koşulu kullanarak Abel toplanabilmeden yakınsaklığa geçişin mümkün olduğunu ispatlamıştır. (Sn(a)) dizisinin yavaş değişimli olması Abel toplanabilme için bir Tauber koşulu ise, (Vn{a,l)) üreteç dizisinin de yavaş değişimli olması Abel toplanabilme metodu için bir Tauber koşuludur. Bu, aşağıdaki koşullan sağlayan genel bir T toplanabilme metodu için de geçerlidir: 1. Toplamsallık 2. (S,Xa)) dizisinin '5' sayısına T toplanabilir olması, (l^n(a,l)) dizisinin '0' a T toplanabilir olmasını gerektirsin. -65- Klasik Tauber teorisi, Abel toplanabilmeden yakınsaklığın elde edilmesi için gerekli olan koşullan inceler. Fakat, Abel toplanabilmeden yakınsaklığın elde edilemeyeceği koşullar da vardır. Bu ise, Tauber teorisine farklı bir bakış açısı oo kazandırmıştır. Böylelikle, alt dizisel Tauber teorisi incelenmeye başlanmıştır. ]£a" n=0 serisinin ılımlı salınımlı olma özelliği ile, alt dizilerinin davranışı elde edilebilir. Çanak(1998), (-oo koşuluna ek olarak (S"{a)) ve (F"(a,l)) dizileri ılımlı salınımlı, Fr"(a,l) = 0(l),n->oo koşullarıyla da bir / aralığında {S"{aj) dizisinin z ye yakınsayan bir {S"^(a)j alt dizisinin olduğunu göstermiştir. J)-r*- yavaş değişimli, Stanojevic (2002), n>.\ için wA(«AF^(a,l))> -M" olacak şekilde bir M~{Mn) dizisi ve n oo lm(l-x)lm VK^(a,T)x* limiti mevcut ise, Ya, serisinin yavaş değişimli olduğunu göstererek serilerin salınımlı davranışlarını yeniden ele almıştır. Stanojevic, dizisinin ılımlı saknımlılığının elde edilebileceğini göstermiştir. y\ - - dizisi ılımlı salınımlı alınırsa da aynı koşullarla {S"(aj) In k ) Summability methods have been given to sum some divergent series or to increase the speed of convergence of the series. C&saro and Abel summability methods are some examples of summability methods. The condition to obtain convergence of a series from its Abel summability was first given by Tauber(1897). These conditions are called Tauberian conditions. The theorems containing these conditions are Tauberian Theorems. Tauber(1897) showed that na" = o(l), n ->? oo is a Tauberian condition for Abel summability. Littlewood(1911) generalized Tauber's condition nan = o(l), n -> oo by na" = 0(l), n -> 00. Schmidt(1925) proved that slow oscillation is also a Tauberian condition. Szasz(1935), showed thatV"§a\,p) = 0(l),n->co,p>l is a Tauberian condition for Abel summability. Renyi gave an example showing that Fn(|a|,l)=ö(l))«-»ao is not a Tauberian condition to recover convergence of a series out of its Abel summability. Landau(1929) proved that it is possible to obtain convergence of a series out of its Abel summability with one sided conditions. If the slow oscillation of (Sn(aj) is a Tauberian condition for Abel summability, slow oscillation of the generator sequence (^(0,1)) is also a Tauberian condition for Abel summability method. This is also true for a general summability method T which satisfies the following conditions: 1. Additivity 2. T - summability of (S" (a)) implies T - summability of (F" (a,l)) to '0'. The classical Tauberian theory investigates the conditions to get convergence of a series out of its Abel summability. A new perspective to Tauberian theory brought up subsequential Tauberian theory. With the moderately oscillation of (Sn (a)), the subsequential convergence or divergence can be controlled. -67- Çanak(1998), showed that if («xj^a)) is Abel summable, (F"(a,l))is moderately oscillating, overall is a zero sequence, then there exists a subsequence (<£"(,) (a)) of (Sn(a}) in an interval /, converging to z. F. Dik (2002), proved that with the additional condition a" = o(l),n -» qo, the condition Fn(a,l) = 0(l),H-»oo and the moderately oscillation of (Sn(aj) and(y"(a,l)) allowed the existence of a subsequence (Sn^(a)) of {S"(af) in an interval / converging to z. Stanqjevic (2002), obtained the slowly oscillation of (S"(aj) when there exists a sequence M = (Mn) satisfying the inequality nA\nAVp(a,l))^-Mn with (n -KJ \ n V - - and the existence of lim(l - x)lim V VÎfi{aS\xk Stanojevic (2002) also showed that if is moderately oscillating, then with the same conditions, the moderately oscillation of the sequence (S"(a))can be obtained.