Türevli lıe halkaları

Abstract

Bu tezde, birleşmeli bir R halkasının türevlerinin oluşturduğu Der (R) Lie halkasının yapısı üzerine günümüze kadar yapılan çalışmalarda elde edilen bazı özelliklere yer verilmiştir. Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde, tez konusu tanıtılmış ve bu konu ile ilgili yapılmış olan çalışmaların kısa bir özeti verilmiştir. İkinci bölümde, bu tezi anlamada kolaylık sağlayacak bazı temel tanım ve özelliklere değinilmiştir. Üçüncü bölümde, Lie halka yapısının ve bu konudaki çalışmaların daha iyi anlaşılması için Herstein'nin 1969 da yayınladığı kitabının ilk kısmı esas olarak ele alınmış ve basit halkalar üzerinde Lie ve Jordan yapısına ilişkin bazı çalışmalar derlenmiştir. Dördüncü bölümde, R halkasının türevlerinin Der (R) Lie halkasına ait özellikler, R nin değişmeli ve değişmeli olmadığı durumlar için ayrı ayrı incelenip, Der (R) Lie halkasının hangi koşullar altında asal olduğunu ifade eden teoremlere yer verilmiştir. Asal R halkası değişmeli olmadığında, R nin iç türevlerinin I (R) Lie halkası yardımıyla Der (R) nin asalığı araştırılmıştır. Halkanın değişmeli olduğu durum incelenirken delta, R halkasının bir türevi ve r R nin elemanı olmak üzere R halkasının r-delta formundaki bütün türevlerinden oluşan R-delta Lie halkasının özellikleri ayrıntılı olarak çalışılmış ve R-delta nın I (R) ile benzer özelliklere sahip olduğu görülmüştür. Bununla birlikte, R halkası karakteristiği 2 den farklı ve birimli Noetherian bir halka olarak alınmış ve bu halka üzerindeki asallık şartı delta-asallığa zayıflatılarak R-delta Lie halkasının asal olduğu kanıtlanmıştır. Beşinci bölümde, R halkasının yalnızca değişmeli olduğu durum göz önüne alınarak bir önceki bölümde verilen teoremlerin ışığında birimli ve 2-burulmasız R halkası üzerinde delta-asallık koşulundan başka bir koşul belirtilmeden R-delta Lie halkasının asal olduğuna ilişkin teorem sunulmuştur.

In this thesis, some properties from works which have been done up till now about structure of the Lie ring of derivations of an associative ring R, denoted Der (R), are given. This thesis consists of five chapters. In the first chapter, subject of the thesis is introduced and a short summary of works which are related this subject is shortly given. In the second chapter, some basic definitions and properties are mentioned to make easy understanding of the thesis. In the third chapter, the first section of Herstein's book which is published in 1969 is taken essentially to understand the structure of the Lie ring and works which are related with this subject and some of works about Lie and Jordan structures in simple rings are gathered. In the fourth chapter, the properties of Lie ring Der (R) of derivations of R are investigated for the cases where R is commutative and non-commutative seperately, the theorems which are expressed the Lie ring Der (R) under which conditions is prime are given. Unless R is commutative, the primeness of Der (R) is investigated by approach is via the study of the structure of I (R), the Lie ring of inner derivations of the prime ring R. In the commutative case, the approach is via the Lie structure of the Lie ring R-delta of all derivations of the form r-delta where r is in R and delta is a given derivation of R. The properties of R-delta are worked in detail and it's seen that R-delta and I (R) have similar properties. Furthermore, the hypothesis of primeness on R which is a Noetherian ring of characteristic not 2 with identity is weakened to delta-primeness and it is proved that R-delta is a prime Lie ring. In the fifth chapter, a theorem is presented in the light of the theorems given in the previous chapter by taking R only as a commutative ring. In this theorem, the primeness of the Lie ring R-delta is proved without assuming any further condition except from the delta-primeness of R which is a 2-torsion free ring with identity.