Fuchs gruplarının geometrisi

Abstract

Fuchs graplan, hiperbolik düzlemin konform izometri grubunun aynk alt gruplarıdır. Modüler grup ve üçgensel gruplar gibi bazı örneklerin önceden bilinmesine rağmen, Fuchs grupları ilk defa Poincarö (1882) tararından sistemli bir biçimde çalışılmıştır. Poincare, L. Fuchs'un diferansiyel denklemler konusundaki bir makalesini okuduktan sonra bu gruplara Fuchs grupları ismini vermiştir. Bu çalışmada hiperbolik düzlem için üst yarı düzlem modeli kullanılmıştır. Bu modele göre hiperbolik düzlem, H = \x + iy\x,yeR, v>0} kümesidir ve hiperbolik düzlemin konform izometrileri z-> (a,b,c,d eR, ad-bc = \) cz + d biçimindeki Möbius dönüşümleridir. Bu dönüşümler sabit noktalarına göre, ötelemeler, rotasyonlar ve limit rotasyonlar olmak üzere üç türe ayrılırlar. Bir Fuchs grubunun bölüm uzayı bir yüzeydir. Bu yüzeyin topolojik özellikleri gruptaki dönüşümlerin türlerine bağlıdır. Örneğin, limit rotasyon içeren bir Fuchs grubunun bölüm uzayı kompakt olamaz. Pürüzsüz ve kompakt yüzeyler sadece ötelemeler tarafından üretilen Fuchs gruplarından elde edilirler. Bir Fuchs grubunun bir temel bölgesi, hiperbolik düzlemin bir kapalı alt kümesidir. Grubun elemanları altında bu kümenin görüntülerinin birleşimi hiperbolik düzlemi verir. Ayrıca, herhangi iki görüntü ya ayrıktır veya ortak noktalan sımrlanndadır. Bir Fuchs grubunun bölüm uzayı, bu gruba ait herhangi bir temel bölge üzerinde aynı yörüngede bulunan noktaların uygun biçimde birleştirilmesiyle elde edilir. 45 Bu çalışmada, Fuchs graplannın temel bölgeleri ve bölüm uzayları gibi daha çok geometrik özellikleri üzerinde durulmuş ve toplanan bilgiler, örnekler ve şekillerle açıklanarak verilmiştir.

Fuchsian groups are discrete subgroups of the group of conformal isometries of the hyperbolic plane. These groups were first studied systematically by Poincar6 (1882), although some examples such as the modular group and triangle groups had been known before that. After reading a paper by L. Fuchs on differential equations, Poincarâ called them Fuchsian groups. In this work, for the hyperbolic plane, the upper-half plane model is used. By this model, hyperbolic plane is the set B. = {x + fy\x,yeR, y>o} and the conformal isometries of H are the Möbius transformations of the form z-+ (a,b,c,d eR, ad-bc = l). cz + d According to their fixed-points, these transformations fall into three kinds, which are translations, rotations and limit rotations. The quotient space of a Fuchsian group is a surface. The topological features of this surface depend on the kinds of the transformations in the group. For example, the quotient space of a Fuchsian group that contains a limit rotation cannot be compact. Smooth and compact surfaces can be obtained from Fuchsian groups that are generated only by translations. A fundamental region of a Fuchsian group is a closed subset of the hyperbolic plane. The union of the images of this set under the elements of the group gives the hyperbolic plane. Also, any two images is either disjoint or their common points lie on their boundaries. The quotient space of a Fuchsian group is obtained by joining the points, which are in the same orbit, of a fundamental region of this group. 47 In this work, mostly the geometrical properties of Fuchsian groups such as their fundamental regions and quotient spaces have been emphasized and the collected knowledge have been given by clarifying with examples and figures.