Düzgün ağlar üzerinde bir sınır değer probleminin Ƹ-yakınsaklığı

Abstract

Bu tezde tekil noktada pertürbe edilmiş iki nokta sınır değer problemi için düzgün bir ağ üzerinde bir tam çözüm olan düzgün yakınsak sonlu farklar metodu öne sürülür. Ilk olarak yerel bir sınır değer problemi ile sorunun tekil pertürbasyon doğasını yansıtan uygun bir operatör yöntemi ile başlanır. Ancak yerel sınır değer problemini gerçekten çözmek yerine yerel bir Shishkin örüntüsü ile geri fark yöntemi kullanılır. Böylelikle tamamen yerel düğüm noktalarının nerelerde olduğu bilinmeden ve tam olarak herhangi bir diferansiyel denklemi sonlu farklar metodu yardımıyla çözmeden, düzgün bir yöntem geliştirmenin mümkün olduğu gösterilir. Doğada bir nehrin kıyısından yayılmakta olan bir atıklı kirli su birikintisini ya da bir bardak saf suyun içerisine bırakılan bir mürekkep damlasını düşünün her iki durumda da kirli suyun ve bir damla mürekkebin içerisinde bulundukları ortama yayıldıkları gözlemlenir. Temiz suyun birden bire mi yada nasıl bir şekilde bulanmaya başlayacağını hiç düşündünüz mü? Doğada bu tür problemlerin incelenmesi demek, matematiksel olarak konveksiyonun yanı sıra difüzyonun da gerçekleşmesini gerektirir. Gösterilmiş olan bu problem ile taşınım ve difüzyon hızının hassas bir sabit ile düzgün bir şekilde nasıl gerçekleştiğine bir kanıt teşkil edilmiştir.

In this thesis we propose a fully discrete uniform nite difference method on an equidistant mesh for a singularly perturbed two-point boundary value problem. We start with a tted operator method re ecting the singular perturbation nature of the problem through a local boundary value problem. However, to solve the local boundary value problem we employ an upwind method on a Shishkin mesh in local domain, instead of solving it exactly. Thus we show that it is possible to develop uniform method, totally in the context of nite differences without knowing location of the layer a priori and without solving any differential equation exactly. Imagine a river-a river owing strongly and smoothly. Liquid pollution pours into the water at a certain point or Imagine a drop of ink dropped into a glass of water. What shape does the pollution stain form on the surface of the river or ink in the glass of water In real life, we need diffusion to explain this problem near by the convection. We further study the convergence properties of the numerical method proposed and prove that it nodally convergence to the true solution for any.