Sonsuz simetrik gruplar

Abstract

Bu tezde; Otto H. Kegel'in ``Regular Limits of Infinite Symmetric Groups'' makalesi ile Otto H. Kegel ve Bertram A. F. Wehrfritz'in ``Locally Finite Groups'' kitabının ``Universal Groups'' ünitesi işlenmiştir. Ayrıca bu konularla ilişkili olarak Roger C. Lyndon ve Paul E. Schupp'un ``Combinatorial Group Theory'' kitabından HNN-genişlemeleri ile ilgili bölümü okunmuştur.Bir $G$ grubunun sonlu üreteçli her altgrubu sonlu ise $G$'ye yerel sonlu grup denir. $G$ yerel sonlu grup olmak üzere bu grup; her sonlu grubun bir kopyasını içeriyorsa ve izomorfik olan sonlu iki altgrubu eşlenik oluyorsa $G$'ye evrensel grup denir. P. Hall, ``Some Construction for Locally Finite Groups'' adlı makalesinde evrensel yerel sonlu grupların varlığını ve genel özelliklerini vermiştir. P. Hall, herhangi bir kardinal için o kardinalitede evrensel bir grup bulunduğunu ve iki sayılabilir evrensel grubun izomorfik olduğunu kanıtlamıştır. Ayrıca evrensel grupların basit ve her sayılabilir yerel sonlu grubun izomorfik bir kopyasını içerdiğini ispatlamıştır.``Embedding Theorems for Groups''\cite{[5]} adlı makalede her sayılabilir sonsuz mertebeli grubun, sonsuz mertebeli iki eleman tarafından üretilen bir grubun içine gömüldüğü kanıtlanmıştır. Ayrıca bu teoreminde yardımıyla, iki üreteçli $2^{\aleph_{0}}$ tane eşyapılı olmayan grup olduğu kanıtlanmıştır.$G$ bir grup ve $A$ ile $B$, $G$'nin iki eş yapılı altgrubu olsun. $\phi$, $A$'dan $B$'ye bir izomorfizma olmak üzere,$H= \langle G,t\;|\forall\textrm{a}\in\textrm{A için}\;\phi(a)= t^{-1}at\rangle$ şeklinde tanımlanan $H$ grubuna $G$'nin HNN-genişlemesi denir.$\{\kappa_{\nu}\}$ sonsuz kardinallerin, tüm $\nu$ ordinalleri için $\kappa_{\nu+1}=2^{\kappa_{\nu}}$ ve $\lambda$ limit ordinali için $\kappa_{\lambda}=\sup\{\kappa_{\nu}:\nu<\lambda\}$ olan bir dizisi olsun. Her $\nu$ ordinali için $S_{\nu+1}:=\mathrm{S}ym(S_{\nu})$ ve eğer $\lambda$ bir limit ordinal ise $S_{\lambda} =\cup_{\nu<\lambda}^{}S_{\nu}$ olan gruplarının bir $\{S_{\nu}\}$ dizisi olsun. Burada $\rho_{\nu}:S_{\nu}\hookrightarrow \mathrm{S}ym(S_{\nu})$ sağ düzenli temsil olmak üzere $\{(S_{\nu},\rho_{\nu})\mid\nu<\lambda\}$ direkt sistemini elde ederiz. Bu direkt sistemden de $S_{\lambda} =\cup_{\nu<\lambda}^{}S_{\nu}$ direkt limit grubu tanımlarız. Bu $S_{\lambda}$ limit grubuna düzenli limit grubu denir.(\cite{[13]}) O. H. Kegel bu düzenli limit gruplarının temel özelliklerini kanıtlamıştır. $\lambda$ limit ordinal olmak üzere, $S_{\lambda}$ düzenli limit grubunda $B\subseteq S_{\nu}$ olacak şekilde $\nu<\lambda$ varsa $B$ altgrubuna $S_{\lambda}$'nın sınırlı altgrubu denir. Bölüm 4'te sınırlı altgrupların temel özellikleri verilmiştir. $G$ bir grup ve $H$, $G$'yi içeren bir üst grup olsun. Eğer $G$ üzerindeki eşitlik ve eşitsizliklerden oluşan her $\Xi$ sonlu sisteminin $H$'de çözülebilir olduğu durumlarda $G$'de de bir çözümü varsa $G$ grubuna $H$ grubu içinde varlıksal kapalı grup denir. Eğer $G$, kendisini içeren bütün üst gruplar içinde varlıksal kapalı ise $G$ grubu varlıksal kapalıdır. $S_{\lambda}$ düzenli limit grubu, homojen ve sonlu üreteçli her grubun bir kopyasını altgrup olarak içerdiğinden varlıksal kapalı bir gruptur. Mertebesi kendisinden küçük eşit olan bütün grupların izomorfik kopyasını içeren gruba evrensel grup denir. Ayrıca her sonsuz limit ordinal $\lambda$ için $S_{\lambda}$ düzenli limit grubu evrenseldir.

This thesis is a survey of O. H. Kegel's paper ``Regular Limits of Infinite Symmetric Groups''. Also we read ``Universal Groups'' in Locally Finite Groups book, by written Otto H. Kegel and Bertram A. F. Wehrfritz and HNN-extension in ``Combinatorial Group Theory'' by written Roger C. Lyndon and Paul E. Schupp. A group $G$ is called locally finite group if every finitely generated subgroup is a finite. A locally finite group $G$ is called universal if every finite group can be embedded into $G$ and any two isomorphic finite subgroups of $G$ are in $G$. Existence and basic properties of universal locally finite group are given by P. Hall's paper ``Some Construction for Locally Finite Groups''. P. Hall proved that there exist universal groups of arbitrary cardinal and also any two countable universal groups are isomorphic. And also he proved that universal group is simple and contains an isomorphic copy of countable locally finite groups. In paper ``Embedding Theorems for Groups''\cite{[5]} proved that every countable group can be embedded in a group generated by two elements of infinite order.Also by this theorem, it is proved that there are $2^{\aleph_{0}}$ non isomorphic 2-generator groups. Let G be a group and let $A$ and $B$ be subgroups of $G$ with $\phi:A\rightarrow B$ an isomorphism. The group $H= \langle G,t\;|\phi(a)= t^{-1}at,a\in A\rangle$ is called an HNN-extension of $G$. A sequence $\{\kappa_{\nu}\}$ of infinite cardinals with $\kappa_{\nu+1}=2^{\kappa_{\nu}}$ for all ordinals $\nu$ and $\kappa_{\lambda}=\sup\{\kappa_{\nu}:\nu<\lambda\}$ for limit ordinal $\lambda$. Also a sequence $\{S_{\nu}\}$ of groups with $S_{\nu+1}:=\mathrm{S}ym(S_{\nu})$ for every ordinal $\nu$ and $S_{\lambda} =\cup_{\nu<\lambda}^{}S_{\nu}$ if $\lambda$ is a limit ordinal. We have the set $\{(S_{\nu},\rho_{\nu})\mid\nu<\lambda\}$ is a direct system where $\rho_{\nu}:S_{\nu}\hookrightarrow \mathrm{S}ym(S_{\nu})$ is a right regular representation. We call the set $S_{\lambda} =\cup_{\nu<\lambda}^{}S_{\nu}$ is a direct limit group of the direct system. $S_{\lambda}$ is called regular limit group.\cite{[13]} O. H. Kegel proved the basic properties of these regular limit groups. $\lambda$ be a limit ordinal and a subgroup $B$ of $S_{\lambda}$ is called a bounded subgroup if $B\subseteq S_{\nu}$ for some $\nu<\lambda$. In chapter 4 of this thesis, some properties of bounded subgroups are examined. $G$ be a group and $H\supseteq G$ be a overgroup. The group $G$ is existentially closed group in the over group $H$ if every finite system $\Xi$ of equations and inequations over $G$ that is soluble in $H$ has a solution in $G$. The group $G$ is existentially closed if it is existentially closed in every overgroup. The regular limit group $S_{\lambda}$ is a existentially closed group because it is a homogeneous and contains copy of every finitely generated group. The group $U$ is called universal if every group $G$ with $|G|\leq|U|$ is isomorphic to a subgroup of $U$. Also for every infinite limit ordinal $\lambda$ the regular limit group $S_{\lambda}$ is universal.